2016-01-26
Autor: nTimes

Nieobliczalna Omega. Czy Matematyka to tylko piękna fikcja?

Omega

Być może świat prawdziwej matematyki to tylko mit zamieszkiwany przez jakieś jednorożce i pegazy… Ale to bardzo ładny i użyteczny świat – mówi Gregory Chaitin, matematyk z IBM Thomas J. Watson Research Center, w rozmowie z Karolem Jałochowskim (tygodnik „Polityka”).

Gregory-Chaitin-thumbKilkadziesiąt lat temu, w czasach zimnej wojny, kiedy Chaitin (ur. 1947 r.) rozpoczął pracę w Thomas J. Watson Research Center, etat w tym najważniejszym z ośrodków naukowych IBM był marzeniem wielu matematyków i pionierów nowej dziedziny wiedzy – informatyki. To tutaj, w bezpiecznej odległości od miasta (poza polem rażenia ewentualnego ataku jądrowego na oddalony o godzinę jazdy pociągiem Nowy Jork), obmyślano nowatorskie teorie i konstrukcje komputerów.

Andrey-Kolmogorov-thumbChaitin trafił tu w 1975 r. owiany sławą genialnego dziecka. Jako kilkunastolatek (niemal równolegle do rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa) opracował i rozwinął algorytmiczną teorię informacji, która ujmuje w ramy ilościowe pojęcia prostoty i złożoności, używając idei komputera do badania granic i struktury ludzkiej wiedzy. Wyróżniony tytułem doktora honoris causa University of Maine i honorowym tytułem profesorskim Universidad de Buenos Aires nie ukończył studiów i do dziś nie posiada żadnego zwyczajnego tytułu naukowego (co chętnie podkreśla). Z czasem stał się ewangelistą nowego rodzaju matematyki.

Kurt-Goedel-Alan-Turing-thumbNawiązując do osiągnięć Kurta GödlaAlana Turinga Gregory Chaitin sugeruje, że matematyka to nauka na wpół eksperymentalna. Twierdzi, że fakty matematyczne są prawdziwe bez przyczyny. I porzućcie wszelką nadzieję ci, którzy szukacie prawdy absolutnej, zdaje się mówić. Jeśli matematyka ma się rozwijać, dodaje, wymyślajcie nowe metody i aksjomaty, których kryterium prawdziwości powinna być przydatność w rozwiązywaniu otwartych dotąd problemów. Te i inne tezy spisał w Meta Math!: The Quest for Omega, wydanym w 2005 r. peanie na cześć kreatywności i wyobraźni w matematyce. Książka ta jest także portretem pewnej zadziwiającej, niepokojącej liczby Ω (omega), w której skupia się, zdaniem Chaitina, zaskakująca złożoność i przypadkowość matematyki. Ω można zdefiniować, ale nie można obliczyć. Paradoksalna Ω jest, a zarazem jej nie ma.

Mimo upływu lat Chaitin pozostał chłopcem – krnąbrnym, impulsywnym dzieckiem matematyki, który w środowisku powściągliwych i raczej konserwatywnych kolegów wzbudza kontrowersje zarówno swoimi pomysłami, jak i emocjonalnym sposobem ich prezentacji. Mówi się, że popada w dogmatyzm, o który oskarża swych adwersarzy. Nikt nie podważa jego znaczących osiągnięć matematycznych, ale celem wściekłych niemal ataków stają się filozoficzne wnioski, które zdaje się z nich wyciągać. Chaitin pyta bowiem o pochodzenie idei, o istotę myśli i o to, czy świat zbudowany jest z materii, czy z informacji. Szkicuje też zarys teorii obejmującej ewolucję matematyki, idei, organizmów żywych i Wszechświata. Tak – jednej wszechobejmującej, bezczelnej teorii! – Sam niewiele z tego rozumiem – przyznaje – ale czasem, w chwilach intelektualnego wyżu, wszystko wydaje się jasne. Czy kiedy wszystko stanie się jasne, można będzie zacząć od nowa – i wszystko urządzić lepiej?

Borges i jego abstrakcyjne konstrukcje myślowe, Kafka i jego bohaterowie szukający drogi do Zamku – nie bez przyczyny książki tych autorów stanęły na półkach w salonie Chaitina.

Karol Jałochowski: Matematyka to taka większa bajka, współczesny mit?

Bertrand-Russell-thumbGregory Chaitin: Jeśli to fikcja, to bardzo piękna. I bardzo użyteczna. Ale czym jest fikcja? Czym jest rzeczywistość? Bertrand Russell uważał, że kiedy w chwili śmierci średniowiecznego, religijnego spojrzenia na świat rodziła się współczesna nauka, pojawiła się postawa zwana realizmem naiwnym, mówiąca, że rzeczy są po prostu tym, czym się wydają. Zamiast wyobrażać sobie Boga i niewidzialne duchy, spojrzeliśmy na przyrodę mówiąc: Cóż, to właśnie rzeczywistość, przyjrzyjmy się jej, bo tylko ona istnieje. Russell przekonywał, że współczesna nauka to właśnie taki realizm naiwny. Ale współczesna nauka wykazuje, że naiwny realizm jest błędny, bo stół i krzesło opisywane są przez prawa fizyki kwantowej, które niewiele mają z nim wspólnego. Jeśli więc realizm naiwny jest prawdziwy, to jest fałszywy. Innymi słowy – ludzki umysł próbuje zrozumieć niezrozumiały świat tworząc coś, co moja żona Virginia nazwałaby mitami, a ja – dziecięcymi modelami. Są zwykle proste, mniej skomplikowane niż rzeczywistość. W przeciwnym razie nie moglibyśmy ich zrozumieć i badać matematycznie. Te mity lub zabawki – to wielkie osiągnięcie umysłu. To właśnie nauka.

A nie metafizyka?

Można i tak powiedzieć. Próby zrozumienia świata za pomocą czystej myśli nie są w modzie już od czasów starożytnej Grecji. Ale Einstein mówił, że każdy dobry fizyk teoretyczny, który chce poznawać rzeczywistość za pomocą myśli, musi zdać się na metafizyczny impuls (choć oczywiście trzeba też przeprowadzać eksperymenty). I że każdy fizyk to zreformowany metafizyk. Nie wierzysz więc, że poznasz wszystko za pomocą myśli, ale w to, że możesz zrozumieć świat, wykorzystując proste, piękne idee. To pewnego rodzaju metafizyczny przesąd – bo właściwie dlaczego miałoby tak być? A może nawet tak wcale nie jest? Świat jest przecież brzydki, skomplikowany i niechlujny.

Matematyka daje bezpieczny azyl?

Tak! Być może świat prawdziwej matematyki zamieszkiwany jest przez jednorożce i pegazy, ale to bardzo ładny świat. Świat, w którym rozum sprawdza się lepiej niż w naszym. Dzięki niemu uczymy się, jak używać rozumu. I zrozumieć otaczający nas świat. Jest więc zatem całkiem użyteczny. Ale podstawowym powodem, dla którego warto zajmować się czystą matematyką, jest jej intelektualne piękno. To ono uwodzi ludzi. W pewnym sensie to rzeczywistość estetyczna. Picasso mawiał, że sztuka to kłamstwo, które pozwala nam zobaczyć prawdę. Ja powiedziałbym, że wszystkie teorie to kłamstwa, które pozwalają nam dostrzec prawdę. Oczywiście jedne lepiej, inne gorzej. Matematyka to gra… To trudne pytania… Odpowiadam na twoje, czy wymyślam własne?

I jedno, i drugie, jak sądzę.

Też mi się tak wydaje.

Ukąszenie Gödla

Zacznijmy więc od początku. Od Davida Hilberta, który na przełomie wieków próbował z tego mitu uczynić precyzyjny system reguł, z którego można wywieść wszystkie prawdy matematyczne.

David-Hilbert-thumbDavid Hilbert wyrażał przekonanie, że matematyka może dawać absolutną prawdę. Zakładał, że poprawne jest powszechne od czasów Platona przekonanie, że matematyka może stanowić model wszelkiego rozumowania. Oraz że przy takim założeniu da się ją zastosować i w polityce, i w naukach społecznych, etyce itd. Hilbert próbował przerobić na ideę matematyczną filozoficzne przekonanie, że nauka daje absolutną prawdę. Jeśli tak jest, mówił, to powinien istnieć skończony zbiór powszechnie akceptowanych aksjomatów (faktów oczywistych, których nie wywodzimy z prostszych reguł, na przykład że 1 ≠ 0 – przyp. KJ), dzięki którym – posługując się logiką i zbiorem prostych reguł – można wykazać prawdziwość lub fałszywość każdego dowodu. Powinien istnieć algorytm, który mechanicznie wygenerowałby wszystkie prawdy matematyczne. Powinna nawet istnieć maszyna, która wywodziłaby z aksjomatów wszystkie twierdzenia. Nie można tego zrobić w praktyce, bo za długo by to trwało. Ale matematycy nie dbają o czas. W teorii jest to możliwe. Bardzo ciekawy pomysł.

Wkrótce potem obalony.

Przez Kurta Gödla w 1931 r., a potem przez Alana Turinga w 1936 r. Zaczyna Gödel, zauważając, że nie można znaleźć zbioru aksjomatów dla wszystkich prawd matematycznych. Skończonego zbioru. Istnieją prawdy, których nie da się udowodnić. Chociażby takie jak ta: Tego zdania nie da się udowodnić. Bo jeśli mamy stwierdzenie, które mówi, że nie można go udowodnić, to jest ono prawdziwe tylko wtedy, kiedy nie można go udowodnić. Gdyby można je było udowodnić, dowiedlibyśmy, że jest fałszywe. Trochę to dziwne. Bardziej fundamentalny wydaje mi się dowód Turinga. Wykazuje on, że są pytania w matematyce, na które nie da się odpowiedzieć za pomocą jakiejś mechanicznej procedury. Nie da się systematycznie, mechanicznie wygenerować wszystkich prawd matematycznych.

Co to oznacza dla matematyki?

Może że jej prawdy są z natury wynikiem aktu twórczego? Któż to może wiedzieć… Pytanie o pochodzenie matematyki jest tak niepokojące, że w zasadzie wszyscy woleli o nim w ogóle nie rozmawiać. Matematycy chcieli przecież mieć kuszące syrenim śpiewem prawdy absolutne. Większość z nich sądziła, że to Hilbert miał rację. Próbowała z całych sił ignorować Gödla i Turinga. I udało się – wydaje mi się, że znaczna część środowiska postępuje tak, jakby chciała o nich zapomnieć.

Moim błędem było, że będąc dzieckiem, dałem się opętać ideami Gödla. Czułem, że to wyjątkowe odkrycia, które oznaczają, że matematyka jest czymś zupełnie innym, niż się wszystkim wydawało. Postawiłem na to całe swoje życie. Ale mogłem się mylić…

Nie ma pan pewności?

Nie potrafię skonstruować niezbitego dowodu na to, że odkrycie Gödla jest rewolucyjne i całkowicie zmienia obraz matematyki. Sam nie jestem o tym całkowicie przekonany. Wydaje mi się, że wyniki mojej pracy naukowej zmierzają w tym kierunku i że są jakąś propozycją dla przyszłych pokoleń – jeśli tylko będą chciały o tym rozmyślać. Nie sądzę, żebym sam wpadł jeszcze na jakieś fundamentalnie nowe pomysły. Chociaż nigdy nie wiadomo. Może będę miał szczęście. Prawdopodobnie jednak skupię się na budowaniu jak najlepszej argumentacji przeciwko konwencjonalnej wizji matematyki.

Na przykład przekonując, że dowody matematyczne mogą być mniej lub bardziej prawdziwe?

Podsuwam myśl, że pojęcie dowodu ma charakter ciągły – od dowodów całkowicie przekonujących do wiarygodnych w sposób statystyczny, takich, które tylko coś sugerują. Podobnych do tych stosowanych w fizyce. Ponadto przekonuję, że istotą teorii jest kompresja (początków tej idei można szukać w „Discours de Métaphysique” Leibniza z 1686 roku). Ostatecznie teorii fizycznej lub matematycznej wierzymy wtedy, jak mi się wydaje, gdy redukuje wiele faktów do małego zbioru aksjomatów i praw. Wierzymy w teorie, które kompresują nasze doświadczenie. Im bardziej, tym lepiej. Powiedziałbym, że w pewien sposób zrozumienie oznacza skondensowanie. W fizyce, w naukach empirycznych to nic nowego. Ale system immunologiczny środowiska matematycznego odrzuca te idee.

Czy matematyka, w której jakość dowodu mierzy się jego długością, nie traci na urodzie?

Co to znaczy, że coś jest piękne? Piękno jest subiektywne. Różni ludzie różnie je postrzegają. Szczęśliwie – bo w przeciwnym razie wszyscy chcielibyśmy ożenić się z tą samą kobietą, prawda? Zająłem się taką, a nie inną matematyką, bo wydała mi się piękna. Fascynująca. Stała się źródłem obsesji. Wydaje mi się, że piękno to dobre kryterium oceny teorii. Piękne teorie mogą inspirować do ich badania. Brzydkie teorie – a kogo one obchodzą?

Poza tym – a po co istnieje gatunek ludzki? Myślę, że ostatecznie po to, by tworzyć piękno lub próbować zrozumieć Wszechświat. Teorię nazywamy piękną m.in. dlatego, że ma piękną strukturę lub pomaga coś zrozumieć. Wielu z nas pracuje na rzecz piękna. Ktoś wykonujący meble też. Może wszystko jest pięknem? Może da się uzasadnić tezę, że wszystko jest zmysłowością – pięknymi ideami? Nie wiem. Na pewno teoria musi być prosta. Gdyby mogła być arbitralnie skomplikowana, jej pojęcie stałoby się bezsensowne. Bo wtedy zawsze byłaby jakaś teoria.

Liczbowa wyrocznia orficka

Żegnamy się z prawdą absolutną w matematyce. Ale jakby tego było mało, nie wiadomo, czy istnieje coś, tak wydawałoby się oczywistego, jak liczby rzeczywiste?

Tak. W 1936 r. wspominał o tym Turing, ale nie poszedł na całość. W słynnej pracy poświęconej matematycznej idei komputera zastanawiał się, czy można obliczyć, cyfra po cyfrze, dokładną wartość π (stosunku długości obwodu koła do długości jego średnicy – przyp. KJ) lub innych liczb, które matematycy znają i kochają. Można by się spodziewać, że każdą liczbę rzeczywistą można obliczyć z dowolną dokładnością. Tymczasem okazało się (do czego przyczynił się Gödel), że jest wprost przeciwnie. Szokujące odkrycie.

Gottfried-Wilhelm-Leibniz-thumbPojęcie liczby rzeczywistej (liczb używanych przez nas na co dzień, liczb całkowitych, ułamków itp. – przyp. KJ) w pewnym sensie jest jak jednorożec. To bardzo piękny matematyczny koncept świetnie sprawdzający się chociażby w rachunku różniczkowym, którego współautorem jest mój idol Gottfried Wilhelm Leibniz, [niemiecki polihistor, osoba posiadająca rozległą wiedzę z wielu różnych dziedzin], ale pojedyncza liczba rzeczywista to rodzaj bajki.

Mathematics-WolframSą ludzie, jak Stephen Wolfram (kontrowersyjny fizyk, matematyk i biznesmen brytyjski – przyp. KJ) oraz ja sam, którzy twierdzą wręcz, że być może liczby rzeczywiste nie istnieją, że świat jest dyskretny (czyli nieciągły, podzielony na małe fragmenty – przyp. KJ). Mówią tak m.in. dlatego, że żaden komputer nie obliczy dokładnie liczby rzeczywistej, która ma po przecinku nieskończoną liczbę cyfr, a to dlatego, że komputery radzą sobie tylko z obiektami skończonymi. Pomysł Wolframa mógłby się spodobać pitagorejczykom, którzy byli przekonani, że liczby całkowite, jak 1, 2, 3, 4 czy 5, są bardziej realne niż inne.

Nawet proste teoretyczne idee, jak liczby rzeczywiste, okazują się więc dość wyrafinowane. Kiedy przyjrzysz się im nazbyt dokładnie, wpadniesz w bezdenną filozoficzną głębinę. Francuski matematyk Émile Borel zauważył, że liczb rzeczywistych nie tylko nie sposób obliczyć, ale nawet nazwać. Że są nieosiągalne.

Jako dowód przeciwko istnieniu liczb rzeczywistych podawał paradoksalny przykład liczby stanowiącej odpowiedź na wszystkie możliwe pytania?

Emile-Borel-thumbMyślę, że Borel wskazywał na ulotny charakter pojęcia liczby rzeczywistej. Bo jeśli miałaby istnieć, to byłaby jak wyrocznia orficka. N-ta cyfra odpowiadałaby na n-te pytanie z listy wszystkich możliwych pytań. Zdaniem Borela pojęcie liczby rzeczywistej zawierającej nieskończoną ilość informacji jest matematyczną fikcją. Reprezentował postawę konstruktywistyczną. Wierzył w obiekty, które można obliczyć w skończonym czasie. Ale Turing dowiódł, że są w matematyce rzeczy, których nie można obliczyć i których nie można dowieść, co z kolei oznacza, że świat matematyki po prostu jest fantazją. Nie ma w tym nic złego. Matematyka jest taka piękna między innymi dlatego, że jest fantazją. Nie wyjaśnisz stosunków z rodziną lub globalnej ekonomii za pomocą prostych równań czy logicznego rozumowania. Sam widzisz – rozum znajduje zastosowanie w świecie matematyki dlatego, że matematyka to rodzaj fikcji. Z drugiej strony są idee pitagorejczyków mówiące, że rzeczywistość matematyki jest ostatecznym porządkiem kryjącym się za całym tym bałaganem, który dostrzegamy na co dzień.

Wróćmy raz jeszcze do podstaw i Gödla, który mówi, że nie ma prawd absolutnych…

Nie – Gödel wierzył w ich istnienie. Twierdził natomiast, że myli się Hilbert mówiąc, że do prawd absolutnych można dojść w sposób mechaniczny, bo zdaniem Gödla to wymaga kreatywności i inspiracji. Wydaje mi się, że takie właśnie jest jego stanowisko. Rebecca Goldstein w książce „Incompleteness” przytacza anegdotę o tym, jak to podczas jakiegoś oficjalnego obiadu do Gödla przysiadł się młody, dumny ze swych osiągnięć fizyk i próbował zaimponować sławnemu matematykowi. Skończył, oczekując pochwały, a Gödel na to: Nie wierzę w nauki empiryczne. Wierzę tylko w prawdy a priori. Tylko one są niezbędne.

Myślę, że w duchu Gödel był platonikiem. Wierzył w prawdę absolutną. Zajmował stanowisko rodem ze średniowiecza lub nawet antyku. Umysł Turinga był nowocześniejszy. Wydaje się, że uważał ludzkie istoty za maszyny i że sztuczna inteligencja jest możliwa.

Mathematics-Formula

12

SKOMENTUJ

Zaloguj się i napisz komentarz.

Poznaj Chiny

Artykuły w Kategoriach:

Ziemia Nocą

Teleskop Hubble'a